Neil urodził się 5 sierpnia 1930 na farmie w stanie Ohio. Był najstarszym z trojga dzieci Stephena i Violi Armstrongów
Od dziesiątego roku życia pracował zarobkowo. Młody Armstrong pobierał lekcje muzyki, pasjonował się także lotnictwem. W szkole średniej rozpoczął naukę pilotażu. Uprawnienia pilota zdobył w wieku 16 lat (na drugi dzień po ukończeniu 16 lat). Wcześniej latał niż prowadził samochód. Rozpoczął naukę na Purdue University, gdzie studiowali również astronauci Virgil Grissom i Eugene Cernan. Po dwóch latach na uniwersytecie musiał odsłużyć trzy lata w marynarce wojennej. To tam został pilotem. Skierowany został do wojskowej bazy lotniczej w Pensacola na Florydzie. W sierpniu 1950 roku ukończył szkolenie i został licencjonowanym pilotem marynarki Stanów Zjednoczonych. Nie wrócił na uniwersytet. Wybuchła wojna koreańska i jako pilot został wysłany do Korei, gdzie wykonał 78 lotów bojowych. W Korei został przydzielony do 51 Dywizjonu Myśliwskiego. Był jednym z najmłodszych pilotów. Podczas jednej z misji jego samolot, Panther, został zestrzelony. Armstrong uratował się skacząc ze spadochronem. Po dwóch dniach dotarł na lotniskowiec USS Essex, na którym stacjonował. Wróciwszy na uniwersytet ukończył studia inżynierskie (licencjat z inżynierii lotniczej - 1955). 28 stycznia 1956 roku poślubił Janet Shearon. Miał trójkę dzieci - dwóch synów, Marka (1963) i Erica (1957), oraz córkę Karen (1959) (zmarła w 1962 roku). Małżeństwo z Janet zakończyło się rozwodem w 1994 roku. W 1999 poślubił młodszą o 15 lat Carol Knight. To na jej ręce podczas pogrzebu złożono amerykańską flagę.
Po uzyskaniu dyplomu przeniósł się do Kalifornii, gdzie National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) zaangażowała go jako pilota doświadczalnego (Levis Flight Propulsion Laboratory). Jednocześnie podjął dalsze studia na University of Southern California. Pracując w NACA, a następnie w NASA, przeprowadzał próby doświadczalne z wieloma samolotami o napędzie odrzutowym i rakietowym, w tym North American F-100 Super Sabre, Convair F-102 Delta Dagger, Lockheed F-104 Starfighter, Boeing B-47 Stratojet, Bell X-1 oraz North American X-15. Jako jeden z dwunastu pilotów wykonał siedem lotów w programie X-15, osiągając wysokość 63 246 m (207 500 stóp). Podczas ostatniego lotu na X-15, Armstrong rozwinął prędkość 1,6 km/sek i osiągnął wysokość 32 km, a następnie wyłączył automatyczny układ ustateczniający i posługując się tylko ręcznymi sterami sprowadził samolot na ziemię. Jako pilot doświadczalny NASA latał w Ośrodku Lotów Doświadczalnych Edwards w Kalifornii (Flight Research Center).
W 1962 roku Amerykański Instytut Aeronautyki i Astronautyki przyznał mu nagrodę im. Octave'a Chanute'a, a w 1966 - Astronautics Award. Otrzymał również NASA Exceptional Service Medal i nagrodę im. Johna J. Montgomeryego. 17 września 1962 roku został przyjęty do zespołu astronautów. W programie Gemini pracował nad udoskonalaniem pojazdów treningowych, symulujących lot kosmiczny i lądowanie na Księżycu. Był rezerwowym pilotem dowodzącym w misji Gemini 5, pilotem dowodzącym wyprawy Gemini 8, podczas której po raz pierwszy w dziejach astronautyki połączono na orbicie dwa pojazdy - manewr, który zapewnił człowiekowi bezpieczny powrót z Księżyca, rezerwowym pilotem dowodzącym w Gemini 11, rezerwowym dowódcą w misji Apollo 8, a przede wszystkim dowódcą Apollo 11 i pierwszym człowiekiem stąpającym po Księżycu (21 lipca 1969 o 2:56 UTC).
Był zastępcą administratora do spraw aeronautyki przy NASA od lipca 1970 do sierpnia 1971, gdy złożył rezygnację w celu pozostania profesorem inżynierii aeronautycznej na Uniwersytecie Cincinnati. Był członkiem Narodowej Komisji do Spraw Przestrzeni (National Commission on Space) od 1985 do 1986 roku, oraz Prezydenckiej Komisji Badającej Przyczyny Katastrofy Wahadłowca Challenger w 1986 roku.
Na pytanie czy człowiek powinien wylądować na Księżycu odpowiedział: Zrezygnowanie z podróży na Księżyc można porównać do sytuacji Kolumba, gdyby zbliżywszy się do wybrzeży Nowego Świata na odległość 80 kilometrów zawrócił do Europy z meldunkiem dla królowej Izabeli.
Odznaczony m.in. Prezydenckim Medalem Wolności, Medalem Lotniczym, Congressional Space Medal of Honor oraz NASA Distinguished Service Medal. Posiadał złotą odznakę Fédération Aéronautique Internationale (FAI). Był członkiem Stowarzyszenia Pilotów Doświadczalnych, Amerykańskiego Instytutu Aeronautyki i Astronautyki, a także Amerykańskiego Stowarzyszenia Szybowcowego.
Zmarł 25 sierpnia 2012 w Cincinnati wskutek komplikacji wynikłych po operacji serca, której poddał się kilkanaście dni wcześniej - 7 sierpnia. Urna z jego prochami spoczęła na dnie Atlantyku, zgodnie z ostatnią wolą astronauty.
