Uczęszczał do Gimnazjum i Liceum im. Stefana Batorego w Warszawie, które zakończył maturą w ramach tajnego nauczania w 1942. Studiował następnie w konspiracyjnym Państwowym Instytucie Sztuki Teatralnej (m.in. u Zofii Małynicz, Marii i Edmunda Wiercińskich, Mariana Wyrzykowskiego, Jana Kreczmara). Uczestniczył w podziemnych przedstawieniach teatralnych, recytując poezję Krzysztofa Kamila Baczyńskiego i Tadeusza Gajcego, był aktorem Teatru Żołnierskiego Biura Informacji i Propagandy Komendy Głównej Armii Krajowej. Brał udział w powstaniu warszawskim.

Po II wojnie światowej uzyskał dyplom w Łodzi (u Aleksandra Zelwerowicza). W 1945 debiutował w Teatrze Wojska Polskiego w Łodzi (jako Kuba w ''Weselu'' Stanisława Wyspiańskiego), od 1949 był związany z teatrami warszawskimi - Współczesnym (1949-1964, 1966-1972), Dramatycznym (1964-1966, 1982-1983), Narodowym (1972-1981), Polskim (1983). W 1957 debiutował w Teatrze Dramatycznym jako reżyser (w ''Uśmiechu Giocondy'' Aldousa Huxleya). W latach 1995-1999 zajmował stanowisko dyrektora artystycznego Teatru Polskiego w Warszawie.

Występował również w Teatrze Telewizji, m.in. w spektaklach: ''Z gawędy wuja'' Sławomira Mrożka w reż. Jerzego Gruzy (1961), ''Do kraju tego'' Cypriana Kamila Norwida w reż. Maryny Broniewskiej (1962), ''Cudza żona i mąż pod łóżkiem'' Fiodora Dostojewskiego w reż. Andrzeja Wajdy (1962), ''Świadkowie albo nasza mała stabilizacja'' Tadeusza Różewicza w reż. Adama Hanuszkiewicza (1963), ''Wiele hałasu o nic'' Williama Szekspira w reż. Ludwika René (1965), ''Brat marnotrawny'' Oscara Wildea w reż. Jerzego Gruzy (1968), ''Rozmyślania przy goleniu'' Stanisława Dygata w reż. Adama Hanuszkiewicza (1969) oraz w ''Makbecie'' Williama Szekspira w reż. Andrzeja Wajdy (1969), ''Czarownicach z Salem'' Arthura Millera w reż. Zygmunta Hübnera (1979) i w ''Kordianie'' Juliusza Słowackiego w reż. Jana Englerta (1994).

Od 1953 wykładał w Państwowej Wyższej Szkole Teatralnej w Warszawie, od 1979 jako profesor nadzwyczajny, od 1987 jako profesor zwyczajny. W latach 1971-1981 pełnił funkcję dziekana Wydziału Aktorskiego, od 1981 do 1987 i od 1993 do 1996 rektora tej uczelni. Zasiadał w Narodowej Radzie Kultury (1986), w latach 1989-1996 był prezesem Związku Artystów Scen Polskich. Do 1956 pełnił funkcję lektora Polskiej Kroniki Filmowej.

Od początku lat 80. działał w opozycji demokratycznej, należał do Solidarności. W czerwcu 1987 witał Jana Pawła II podczas spotkania papieża ze środowiskiem artystów w warszawskim kościele Świętego Krzyża. Był członkiem Prymasowskiej Rady Społecznej i Komitetu Obywatelskiego, z ramienia którego zasiadał w Sejmie kontraktowym w latach 1989-1991 (w trakcie kadencji przeszedł do KP Unii Demokratycznej).

Zagrał ponad 200 ról teatralnych, filmowych i telewizyjnych, m.in. w filmach Andrzeja Wajdy i Tadeusza Konwickiego. Reżyserował ponad 100 przedstawień teatralnych i telewizyjnych.

Andrzej Łapicki zmarł nad ranem 21 lipca 2012 w swoim domu w Warszawie. Uroczystości pogrzebowe aktora odbyły się 27 lipca 2012 w warszawskim kościele św. Karola Boromeusza. Prochy artysty spoczęły w grobowcu rodzinnym na Starych Powązkach.

Był synem Borysa Łapickiego (profesora i wykładowcy prawa rzymskiego na Uniwersytecie Warszawskim i Uniwersytecie Łódzkim) oraz prawnukiem Hektora Łapickiego (wojewody mińskiego w czasie powstania styczniowego).

Jego żoną była Zofia Chrząszczewska (zm. 22 lipca 2005), z którą miał córkę Zuzannę (Grzegorz był adoptowanym synem Zofii z jej poprzedniego związku). 5 czerwca 2009 ożenił się powtórnie - z teatrolog Kamilą Mścichowską, młodszą od niego o 60 lat.

W 2012 Kamila Łapicka opublikowała wspomnienia Andrzeja Łapickiego w formie wspólnie prowadzonych rozmów, zatytułowane ''Łapa w łapę''.

Brak wpisów w Księdze Wpisów.